AI 前傳｜讓編碼變成可能的兩位傳奇人物 · 上篇 · 哥德爾

「3 > 2 = 2,250；2 < 3 = 3,240」：沒有這些讀起來瘋狂的東西，就幾乎沒有今天的 AI

3 > 2，在算術裏是一條陳述句。這條陳述句，也可以換種方法，寫成一個整數，例如 2,250。

Preface — 程式可以讀程式、機器可以模擬機器；今日 AI 系統同樣要由程式運行，語言進入模型前，更要先變成 token 與向量。地基都藏在這個看似荒謬的編碼裏。

把兩邊掉轉，2 < 3 是另一條陳述句；用同一種方法，可以寫成 3,240。2,250 和 3,240 都不是兩條陳述句的計算結果，而是它們的編碼。把這兩個數字拆解，便能分別還原成 3 > 2 和 2 < 3。

一張數碼相片由像素組成，或一段聲音透過連續取樣換成數碼記錄；這種數字轉換，今天已經不難理解。哥德爾在 1931 年處理的對象卻更抽象：他用數字編碼的，是一條數學陳述寫了甚麼，以及一段數學推導根據哪些規則進行。符號、公式，以至整段證明，都可以編碼成整數。

關鍵不只是把抽象概念變成數字。當陳述與規則能以巧妙的方法編碼成整數，它們也就成為數學可以反過來處理的對象。

25 歲的庫爾特・哥德爾（Kurt Gödel）做的不是設計一種方便存檔的格式，而是重新劃定「數字可以代表甚麼」：數字不再只表示三隻蘋果、二十米距離或一道算式的答案，也可以代表一條公式的完整結構，甚至一整個推理過程。

01一句「三大於二」，怎樣裝進 2,250？

先用一個極度簡化的例子。假設我們替每個符號分配一個編號：

3 → 1，> → 2，2 → 3，< → 4，5 → 5，+ → 6，= → 7，8 → 8

那麼，3 > 2 可以先寫成 1, 2, 3。不過這仍然是三個分開的數字。哥德爾需要的，是讓每一串符號都對應一個獨一無二的整數，而且可以由那個整數完整還原原句。

質數剛好提供了一種方法，可以完整保留符號的順序，不會在拆解時打亂。我們依次取 2、3、5、7⋯⋯，再把符號編號放進指數：

2¹ × 3² × 5³ = 2,250

在這個簡化例子裏，2,250 代表的就是 3 > 2。把 2,250 分解成質因數，指數會重新給出 1, 2, 3；再對照符號表，便能還原出原句。

真正的 Gödel numbering 比這個例子完整得多，要處理變數、括號、代表「所有」或「存在」的符號（量詞）、公式之間的序列，甚至一整份證明。編碼所得出的數字也會大得荒謬。

但數字有多大並不重要，反正哥德爾的工作不是坐下來把每個編碼結果都計算出來；他需要證明的是，這種編碼可以做到三件事。

01 · UNIQUE不會撞碼不同符號序列不會得到同一個數字。即使符號一樣，順序一改，編碼亦會改變。

02 · REVERSIBLE可以還原數字經過質因數分解，可以找回原來內容的所有符號，以及它們各自的位置。

03 · MECHANICAL毋須釋義編碼與解碼都有固定步驟，毋須先解釋句子的意思，也能依照步驟完成。

一條公式沒有唯一、天定的 Gödel number。你可以把 3 編成 1，也可以編成 7；所得的整數會不同，但只要對應關係清楚、獨一，而且可以按照固定步驟還原，編碼便同樣有效。

上面的互動器可以切換符號表。你會看見 3 > 2 不再編碼成 2,250，但仍然可以由新的整數準確還原。重要的是編碼結構，不是某一個特定號碼。

一條公式其實不過是一串有序符號，所以可以編碼成一個整數。證明則是一串有序公式，所以也可以編碼成另一個整數。

有了這一層層的編碼，原本關於數學公式與數學證明的問題，也能換個角度，簡化成處理整數之間的關係：

Formula(n)	數字 n 解碼後，是不是一條格式合法的公式？
Step(a,b)	由 a 所代表的公式推演到 b 所代表的公式，是否符合其中一條合法的推理規則？
Proof(p,s)	數字 p 所代表的整段符號序列，是否構成命題 s 的合法證明？

這不代表數學直接取代了語言，更不代表機器忽然理解了句子的意思。把數學語言編碼後，真正變得可能的，是建立一個檢查證明的程式，也就是 proof checker：它可以讀取代表公式或證明的整數編碼，再按照固定規則檢查公式的格式，以及每一步推導是否合法。

沒有這種編碼以前，我們只能直接面對紙上一行又一行的符號。若要讓另一套機械程序驗證一項證明，第一步便是把公式、推導步驟和規則，轉換成程序可以讀取及逐項檢查的輸入。

關鍵在於，這個 checker 不再只是直接處理紙上的符號，而是處理代表那一大串符號的整數。語法被「算術化」（arithmetisation）之後，陳述句和證明本身，也成為數學可以研究的對象。

先看一個最直接的例子：

自然語言可以用「這句話」直接指向自己，我們讀起來也不覺得困難。形式數學卻不能只寫「這條陳述」，然後假定系統知道所指的是哪一條；這個對象必須由數學精確指定。

Gödel numbering 先替形式系統內的符號、公式和數學陳述編配整數。接着，可以構造一條談論「編碼為 n 的數學陳述」的陳述，再把這條陳述自己的編碼代入 n 的位置。這套讓陳述最終指向自身編碼的方法，稱為「對角化」。

編碼本身還不是自我指涉，但通往魔法的大門已經打開了。未經編碼時，「一條數學陳述」和「一個整數」分屬兩個層次；有了編碼，數學陳述便有可能透過整數間接指向其他陳述，甚至指向自己。今次只停在這道門前；自我指涉的魔法，留待之後的 GEB 文章再和大家一起走進去。

哥德爾讓數學不只處理數量，也能處理對數學本身的描述。下一步，問題由「如何編碼一條陳述」推進成「如何準確描述一套可以執行的程序」。下篇：圖靈如何把機器指令變成輸入，並由此打開通用機器、程式與 AI 的道路。

Stanford Encyclopedia of Philosophy, 〈Gödel Numbering〉。
Kurt Gödel, 〈On Undecidable Propositions of Formal Mathematical Systems〉，1934 年 Princeton lectures 筆記。
圖片：Young Kurt Gödel。授權及來源資料見檔案頁。